Chapitre I. Limites et continuité
I.7.14. Montrer que l’ensemble des points de continuité de f : X −→ Y est
une intersection dénombrable d’ensembles ouverts, autrement dit, un ensemble
de type G δ de (X, d 1 ). Montrer aussi que l’ensemble des points de discontinuité
de f : X −→ Y est une union dénombrable d’ensembles fermés, autrement dit, un
ensemble de type F σ de (X, d 1 ).
I.7.15. Donner un exemple de fonction f : R −→ R dont l’ensemble des points
de discontinuité est Q.
I.7.16. Prouver que tout sous-ensemble de type F σ de R est l’ensemble des
points de discontinuité d’une fonction f : R −→ R.
I.7.17. Soit A un sous-ensemble de type F σ d’un espace métrique X. Existe-t-il
nécessairement une fonction f : X −→ R dont l’ensemble des points de discontinuité est A ?
I.7.18. Soit χ A la fonction caractéristique de A ⊂ X. Montrer que
{x ∈ X : o χ A (x) > 0} = ∂A,
o χ A (x) étant l’oscillation de χ A en x définie en I.7.12. En conclure que χ A est
continue sur X si et seulement si A est à la fois ouvert et fermé.
I.7.19. Soit g 1 et g 2 des fonctions continues d’un espace métrique (X, d 1 ) dans
un espace métrique (Y, d 2 ) et A un ensemble d’intérieur vide, dense dans X.
Prouver que si
f (x) =
g 1 (x) pour x ∈ A,
g 2 (x) pour x ∈ X \ A,
alors
o f (x) = d 2 (g 1 (x), g 2 (x)), x ∈ X,
où o f (x) est l’oscillation de f en x définie en I.7.12.
I.7.20. On dit qu’une fonction à valeurs réelles f définie sur un espace métrique X appartient à la première classe de Baire si f est la limite simple d’une
suite de fonctions continues sur X. Prouver que si f appartient à la première
classe de Baire, alors l’ensemble des points de discontinuité de f est un ensemble
de première catégorie, c’est-à-dire une union dénombrable d’ensembles nulle part
denses (3) .
(3) Un sous-ensemble A de X est nulle part dense si l’intérieur de son adhérence dans X est vide.
(N.d.T.)
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I.7.14. Montrer que l’ensemble des points de continuité de f : X −→ Y est
une intersection dénombrable d’ensembles ouverts, autrement dit, un ensemble
de type G δ de (X, d 1 ). Montrer aussi que l’ensemble des points de discontinuité
de f : X −→ Y est une union dénombrable d’ensembles fermés, autrement dit, un
ensemble de type F σ de (X, d 1 ).
I.7.15. Donner un exemple de fonction f : R −→ R dont l’ensemble des points
de discontinuité est Q.
I.7.16. Prouver que tout sous-ensemble de type F σ de R est l’ensemble des
points de discontinuité d’une fonction f : R −→ R.
I.7.17. Soit A un sous-ensemble de type F σ d’un espace métrique X. Existe-t-il
nécessairement une fonction f : X −→ R dont l’ensemble des points de discontinuité est A ?
I.7.18. Soit χ A la fonction caractéristique de A ⊂ X. Montrer que
{x ∈ X : o χ A (x) > 0} = ∂A,
o χ A (x) étant l’oscillation de χ A en x définie en I.7.12. En conclure que χ A est
continue sur X si et seulement si A est à la fois ouvert et fermé.
I.7.19. Soit g 1 et g 2 des fonctions continues d’un espace métrique (X, d 1 ) dans
un espace métrique (Y, d 2 ) et A un ensemble d’intérieur vide, dense dans X.
Prouver que si
f (x) =
g 1 (x) pour x ∈ A,
g 2 (x) pour x ∈ X \ A,
alors
o f (x) = d 2 (g 1 (x), g 2 (x)), x ∈ X,
où o f (x) est l’oscillation de f en x définie en I.7.12.
I.7.20. On dit qu’une fonction à valeurs réelles f définie sur un espace métrique X appartient à la première classe de Baire si f est la limite simple d’une
suite de fonctions continues sur X. Prouver que si f appartient à la première
classe de Baire, alors l’ensemble des points de discontinuité de f est un ensemble
de première catégorie, c’est-à-dire une union dénombrable d’ensembles nulle part
denses (3) .
(3) Un sous-ensemble A de X est nulle part dense si l’intérieur de son adhérence dans X est vide.
(N.d.T.)
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