Énoncés
I.7.6. Soit f une fonction définie sur l’union des ensembles ouverts G t , t ∈ T.
Prouver que si la restriction f |Gt est continue pour tout t ∈ T, f est alors continue
sur
t∈T
G t .
I.7.7. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques. Prouver que f : X −→ Y
est continue si et seulement si la fonction f |A est continue pour tout compact A
de X.
I.7.8. Soit f une bijection continue d’un espace métrique compact X dans un
espace métrique Y. Prouver que la fonction réciproque f −1 est continue sur Y.
Prouver aussi qu’on ne peut pas omettre la compacité des hypothèses.
I.7.9. Soit f une application continue d’un espace métrique compact X dans un
espace métrique Y. Démontrer que f est uniformément continue sur X.
I.7.10. Soit (X, d) un espace métrique et A un sous-ensemble non vide de X.
Prouver que la fonction f : X −→ R + définie par
f (x) = dist(x, A) = inf {d(x, y) : y ∈ A}
est uniformément continue sur X.
I.7.11. Soit f une application continue d’un espace métrique connexe X dans
un espace métrique Y. Prouver que f (X) est connexe dans Y.
I.7.12. Soit f : A −→ Y, ∅ = A ⊂ X. Pour x ∈ A, on pose
o f (x, δ) = diam(f (A ∩ B(x, δ))).
L’oscillation de f en x est définie par
o f (x) = lim
δ→0 +
o f (x, δ).
Prouver que f est continue en x 0 ∈ A si et seulement si o f (x 0 ) = 0 (comparer
avec I.4.19 et I.4.20).
I.7.13. Soit f : A −→ Y, ∅ = A ⊂ X. Pour x ∈ A, on note o f (x) l’oscillation
de f en x définie au problème précédent. Prouver que pour tout ε > 0, l’ensemble
x ∈ A : o f (x) ε
est fermé dans X.
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