Chapitre I. Limites et continuité
I.7. Fonctions continues sur un espace métrique
Dans cette section, X et Y représentent respectivement des espaces métriques (X, d 1 ) et (Y, d 2 ). Pour alléger les notations, on écrira « X est un espace métrique » au lieu d’écrire « (X, d 1 ) est un espace métrique ». Sauf précision
contraire, R et R n sont toujours supposés munis de leur structure euclidienne.
I.7.1. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques et f : X −→ Y une fonction.
Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes.
(a) La fonction f est continue.
(b) Pour tout ensemble fermé F ⊂ Y, l’ensemble f −1 (F) est fermé dans X.
(c) Pour tout ensemble ouvert G ⊂ Y, l’ensemble f −1 (G) est ouvert dans X.
(d) Pour tout sous-ensemble A de X, f
A
⊂ f (A).
(e) Pour tout sous-ensemble B de Y, f −1 (B) ⊂ f −1 B
.
I.7.2. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques et f : X −→ Y une fonction
continue. Prouver que l’image réciproque f −1 (B) d’un ensemble de Borel (2) B de
(Y, d 2 ) est un ensemble de Borel de (X, d 1 ).
I.7.3. Donner un exemple de fonction continue f : X −→ Y telle que l’image
f (F) (resp. f (G)) n’est pas fermée (resp. ouverte) dans Y pour un fermé F (resp.
ouvert G) de X.
I.7.4. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques et f : X −→ Y une fonction
continue. Prouver que l’image de tout ensemble compact F de X est un compact
de Y.
I.7.5. Soit f une fonction définie sur l’union des ensembles fermés F 1 , . . ., F m .
Prouver que si la restriction de f à chacun des F i (i = 1, 2, . . . , m) est continue,
f est alors continue sur F 1 ∪ F 2 ∪ . . . ∪ F m .
Montrer sur un exemple que cette proposition est fausse dans le cas d’une
infinité d’ensembles F i .
(2) Un ensemble est appelé ensemble de Borel ou borélien s’il peut s’obtenir comme le résultat
d’un nombre d’opérations au plus dénombrable d’union et intersection d’ensembles fermés ou
ouverts. (N.d.T.)
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I.7. Fonctions continues sur un espace métrique
Dans cette section, X et Y représentent respectivement des espaces métriques (X, d 1 ) et (Y, d 2 ). Pour alléger les notations, on écrira « X est un espace métrique » au lieu d’écrire « (X, d 1 ) est un espace métrique ». Sauf précision
contraire, R et R n sont toujours supposés munis de leur structure euclidienne.
I.7.1. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques et f : X −→ Y une fonction.
Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes.
(a) La fonction f est continue.
(b) Pour tout ensemble fermé F ⊂ Y, l’ensemble f −1 (F) est fermé dans X.
(c) Pour tout ensemble ouvert G ⊂ Y, l’ensemble f −1 (G) est ouvert dans X.
(d) Pour tout sous-ensemble A de X, f
A
⊂ f (A).
(e) Pour tout sous-ensemble B de Y, f −1 (B) ⊂ f −1 B
.
I.7.2. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques et f : X −→ Y une fonction
continue. Prouver que l’image réciproque f −1 (B) d’un ensemble de Borel (2) B de
(Y, d 2 ) est un ensemble de Borel de (X, d 1 ).
I.7.3. Donner un exemple de fonction continue f : X −→ Y telle que l’image
f (F) (resp. f (G)) n’est pas fermée (resp. ouverte) dans Y pour un fermé F (resp.
ouvert G) de X.
I.7.4. Soit (X, d 1 ) et (Y, d 2 ) des espaces métriques et f : X −→ Y une fonction
continue. Prouver que l’image de tout ensemble compact F de X est un compact
de Y.
I.7.5. Soit f une fonction définie sur l’union des ensembles fermés F 1 , . . ., F m .
Prouver que si la restriction de f à chacun des F i (i = 1, 2, . . . , m) est continue,
f est alors continue sur F 1 ∪ F 2 ∪ . . . ∪ F m .
Montrer sur un exemple que cette proposition est fausse dans le cas d’une
infinité d’ensembles F i .
(2) Un ensemble est appelé ensemble de Borel ou borélien s’il peut s’obtenir comme le résultat
d’un nombre d’opérations au plus dénombrable d’union et intersection d’ensembles fermés ou
ouverts. (N.d.T.)
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