Énoncés
I.6.26. Soit m, n 2 des entiers. Trouver toutes les fonctions f : R + −→ R
continues en au moins un point de R + telles que
f
1
n
n
i=1
x
m
i
=
1
n
n
i=1
(f (x i ))
m
pour x i 0, i = 1, 2, . . . , n.
I.6.27. Trouver toutes les fonctions f : R −→ R non-identiquement nulles vérifiant les équations
f (xy) = f (x)f (y) et f (x + z) = f (x) + f (z)
pour un certain z = 0.
I.6.28. Trouver toutes les fonctions f : R ∗ −→ R telles que
f (x) = −f
1
x
.
I.6.29. Trouver toutes les solutions f : R ∗ −→ R de l’équation fonctionnelle
f (x) + f
x
2
= f
1
x
+ f
1
x 2
.
I.6.30. Prouver que les fonctions f, g, ϕ: R −→ R vérifient l’équation
f (x) − g(y)
x − y
= ϕ
x + y
2
, x = y,
si et seulement s’il existe a, b et c tels que
f (x) = g(x) = ax
2 + bx + c, ϕ(x) = 2ax + b.
I.6.31. Prouver qu’il existe une fonction f : R −→ Q vérifiant les trois conditions :
(a) f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ R,
(b) f (x) = x pour x ∈ Q,
(c) f n’est pas continue sur R.
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I.6.26. Soit m, n 2 des entiers. Trouver toutes les fonctions f : R + −→ R
continues en au moins un point de R + telles que
f
1
n
n
i=1
x
m
i
=
1
n
n
i=1
(f (x i ))
m
pour x i 0, i = 1, 2, . . . , n.
I.6.27. Trouver toutes les fonctions f : R −→ R non-identiquement nulles vérifiant les équations
f (xy) = f (x)f (y) et f (x + z) = f (x) + f (z)
pour un certain z = 0.
I.6.28. Trouver toutes les fonctions f : R ∗ −→ R telles que
f (x) = −f
1
x
.
I.6.29. Trouver toutes les solutions f : R ∗ −→ R de l’équation fonctionnelle
f (x) + f
x
2
= f
1
x
+ f
1
x 2
.
I.6.30. Prouver que les fonctions f, g, ϕ: R −→ R vérifient l’équation
f (x) − g(y)
x − y
= ϕ
x + y
2
, x = y,
si et seulement s’il existe a, b et c tels que
f (x) = g(x) = ax
2 + bx + c, ϕ(x) = 2ax + b.
I.6.31. Prouver qu’il existe une fonction f : R −→ Q vérifiant les trois conditions :
(a) f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ R,
(b) f (x) = x pour x ∈ Q,
(c) f n’est pas continue sur R.
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