Chapitre I. Limites et continuité
I.6.19. Résoudre l’équation fonctionnelle
f (x) + f
x − 1
x
= 1 + x pour x = 0, 1.
I.6.20. Une suite converge au sens de Cesàro si
C- lim
n→+∞
x n = lim
n→+∞
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n
n
existe et est finie. Trouver toutes les fonctions continues au sens de Cesàro, c’està-dire, telles que
f
C- lim
n→+∞
x n
= C- lim
n→+∞
f (x n )
pour toute suite {x n } convergente au sens de Cesàro.
I.6.21. Soit f : [0 , 1] −→ [0 , 1] une injection telle que f (2x − f (x)) = x pour
tout x ∈ [0 , 1]. Prouver que f (x) = x pour tout x ∈ [0 , 1].
I.6.22. Pour m = 0, prouver que si une fonction continue f : R −→ R vérifie
l’équation
f
2x −
f (x)
m
= mx,
alors f (x) = m(x − c).
I.6.23. Montrer que les seules solutions de l’équation fonctionnelle
f (x + y) + f (y − x) = 2f (x)f (y)
continues sur R et non-identiquement nulles sont f (x) = cos(ax) et f (x) = ch(ax),
a étant réel.
I.6.24. Déterminer toutes les solutions continues sur ]−1 , 1[ de
f
x + y
1 + xy
= f (x) + f (y).
I.6.25. Trouver tous les polynômes P tels que
P
2x − x
2
= (P (x))
2 .
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