Énoncés
I.6.11. Trouver toutes les fonctions continues sur ]a , b[, a, b ∈ R, vérifiant l’équation fonctionnelle de Jensen
f
x + y
2
=
f (x) + f (y)
2
.
I.6.12. Déterminer toutes les solutions f : R −→ R continues en −1 de l’équation fonctionnelle
f (2x + 1) = f (x).
I.6.13. Soit a ∈ R. Prouver que si f : R −→ R est une solution continue de
l’équation
f (x + y) = f (x) + f (y) + axy,
alors f (x) =
a
2 x 2 + bx où b = f (1) −
a
2 .
I.6.14. Déterminer toutes les solutions continues en −1 de l’équation fonctionnelle
f (x) = f
x
1 − x
, x = 1.
I.6.15. Soit f : [0 , 1] −→ [0 , 1] une fonction continue, décroissante et telle que
f (f (x)) = x pour tout x ∈ [0 , 1]. La fonction f (x) = 1 − x est-elle la seule à
vérifier ces conditions ?
I.6.16. Soit f et g deux fonctions vérifiant l’équation
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y), x,y ∈ R.
Démontrer que si f n’est pas identiquement nulle et si |f (x)| 1 pour x ∈ R, on
a alors aussi |g(x)| 1 pour x ∈ R.
I.6.17. Trouver toutes les fonctions continues f : R −→ R vérifiant l’équation
fonctionnelle
f (x + y) = f (x)e
y + f (y)e
x .
I.6.18. Déterminer toutes les solutions f : R −→ R continues en 0 de
f (x + y) − f (x − y) = f (x)f (y).
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