Chapitre I. Limites et continuité
I.6.3. Déterminer toutes les fonctions continues f : R −→ R telles que f (1) > 0
et
f (x + y) = f (x)f (y).
I.6.4. Montrer que les seules solutions continues sur R ∗
+ de l’équation fonctionnelle
f (xy) = f (x) + f (y)
qui ne sont pas identiquement nulles sont les fonctions logarithmiques.
I.6.5. Montrer que les seules solutions continues sur R ∗
+ de l’équation fonctionnelle
f (xy) = f (x)f (y)
qui ne sont pas identiquement nulles sont les fonctions puissances de la forme
f (x) = x a .
I.6.6. Trouver toutes les fonctions continues f : R −→ R telles que f (x) − f (y)
est rationnel pour x − y rationnel.
I.6.7. Pour |q| < 1, trouver toutes les fonctions f : R −→ R continues en 0
vérifiant l’équation fonctionnelle
f (x) + f (qx) = 0.
I.6.8. Trouver toutes les fonctions f : R −→ R continues en 0 vérifiant l’équation
f (x) + f
2
3
x
= x.
I.6.9. Déterminer toutes les solutions f : R −→ R de l’équation fonctionnelle
2f (2x) = f (x) + x
continues en 0.
I.6.10. Trouver toutes les fonctions continues f : R −→ R vérifiant l’équation
fonctionnelle de Jensen
f
x + y
2
=
f (x) + f (y)
2
.
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