Énoncés
I.5.20. Soit f : A −→ R, A ⊂ R. On pose
ω f (δ) = sup {|f (x 1 ) − f (x 2 )| : x 1 , x 2 ∈ A, |x 1 − x 2 | < δ}
et on appelle ω f le module de continuité de f . Démontrer que f est uniformément
continue sur A si et seulement si lim
δ→0 +
ω f (δ) = 0.
I.5.21. Soit f : R −→ R une fonction uniformément continue. Prouver que les
propositions suivantes sont équivalentes.
(a) Pour toute fonction uniformément continue g : R −→ R, f g est uniformément continue sur R.
(b) La fonction x → |x| f (x) est uniformément continue sur R.
I.5.22. Prouver que la condition suivante est nécessaire et suffisante pour que f
soit uniformément continue sur un intervalle I. Étant donné ε > 0, il existe N > 0
tel que pour tous x 1 , x 2 ∈ I, x 1 = x 2 ,
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
> N implique |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε.
I.6. Équations fonctionnelles
I.6.1. Prouver que les seules fonctions continues sur R vérifiant l’équation fonctionnelle de Cauchy
f (x + y) = f (x) + f (y)
sont les fonctions linéaires f (x) = ax.
I.6.2. Prouver que si f : R −→ R vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy
f (x + y) = f (x) + f (y)
et une des conditions
(a) f est continue en x 0 ∈ R,
(b) f est majorée sur un intervalle ]a , b[,
(c) f est monotone sur R,
alors f (x) = ax.
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