Chapitre I. Limites et continuité
I.5.11. Soit f une fonction uniformément continue et non bornée sur R + . Est-il
exact que l’on a soit lim
x→+∞
f (x) = +∞, soit lim
x→+∞
f (x) = −∞ ?
I.5.12. Soit f : R + −→ R une fonction uniformément continue telle que pour
tout x 0, la suite {f (x + n)} tend vers 0. Prouver que lim
x→+∞
f (x) = 0.
I.5.13. Soit f : [1 , +∞[ −→ R une fonction uniformément continue. Prouver
qu’il existe M > 0 tel que
|f (x)|
x
M pour x 1.
I.5.14. Soit f : R + −→ R une fonction uniformément continue. Prouver qu’il
existe M > 0 tel que
sup
u>0
{|f (x + u) − f (x)|} M (x + 1) pour tout x 0.
I.5.15. Soit f : A −→ R, A ⊂ R, une fonction uniformément continue. Prouver
que si {x n } est une suite de Cauchy d’éléments de A, alors {f (x n )} est aussi une
suite de Cauchy.
I.5.16. Soit A ⊂ R un ensemble borné. Prouver que si f : A −→ R transforme
toute suite de Cauchy d’éléments de A en une suite de Cauchy, alors f est uniformément continue sur A. Le fait que A soit borné est-il une condition essentielle ?
I.5.17. Prouver que f est uniformément continue sur A ⊂ R si et seulement si
pour toutes suites {x n } et {y n } d’éléments de A,
lim
n→+∞
(x n − y n ) = 0 implique
lim
n→+∞
(f (x n ) − f (y n )) = 0.
I.5.18. Soit f : R ∗
+ −→ R ∗
+ une fonction uniformément continue. A-t-on
lim
x→+∞
f
x +
1
x
f (x)
= 1 ?
I.5.19. Soit f : R −→ R une fonction continue en 0 et vérifiant les conditions
suivantes :
f (0) = 0 et f (x 1 + x 2 ) f (x 1 ) + f (x 2 ) pour tout x 1 , x 2 ∈ R.
Prouver que f est uniformément continue sur R.
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