Énoncés
I.5.4. Soit f et g deux fonctions uniformément continues sur ]a , b[ (resp.
[a , +∞[). Ceci implique-t-il la continuité uniforme sur ]a , b[ (resp. [a , +∞[) des
fonctions
(a) f + g,
(b) f g,
(c) x → f (x) sin x?
I.5.5.
(a) Prouver que si f est uniformément continue sur ]a , b] et sur [b , c[, elle est
alors aussi uniformément continue sur ]a , c[.
(b) Soit A et B des sous-ensembles fermés de R et f : A ∪ B −→ R une fonction
uniformément continue sur A et sur B. La fonction f est-elle uniformément
continue sur A ∪ B ?
I.5.6. Prouver que toute fonction continue et périodique sur R est uniformément
continue sur R.
I.5.7.
(a) Soit f : R −→ R une fonction continue telle que lim
x→−∞
f (x) et lim
x→+∞
f (x)
soient finies. Prouver que f est uniformément continue sur R.
(b) Soit f : [a , +∞[ −→ R une fonction continue telle que lim
x→+∞
f (x) soit finie.
Prouver que f est uniformément continue sur [a , +∞[.
I.5.8. Étudier la continuité uniforme de
(a) f (x) = Arctan x sur R,
(b) f (x) = x sin
1
x sur R ∗
+ ,
(c) f (x) = e
−
1
x sur R ∗
+ .
I.5.9. Soit f une fonction uniformément continue sur R ∗
+ . Les limites lim
x→0 +
f (x)
et lim
x→+∞
f (x) existent-elles nécessairement ?
I.5.10. Prouver que toute fonction bornée, monotone et continue sur un intervalle I ⊂ R est uniformément continue sur I.
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