Chapitre I. Limites et continuité
I.4.25. Prouver que si f : A −→ R est semi-continue supérieurement,
g : A −→ R est semi-continue inférieurement et f (x) g(x) pour tout x ∈ A,
il existe alors une fonction h continue sur A telle que
f (x) h(x) g(x) pour tout x ∈ A.
I.5. Continuité uniforme
Définition. Une fonction f définie sur A ⊂ R et à valeurs dans R est uniformément continue sur A si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x
et tout y dans A vérifiant |x − y| < δ, on a |f (x) − f (y)| < ε.
I.5.1. Vérifier si les fonctions suivantes sont uniformément continues sur ]0 , 1[ :
(a) f (x) = e
x ,
(b) f (x) = sin
1
x
,
(c) f (x) = x sin
1
x
,
(d) f (x) = e
1
x ,
(e) f (x) = e
−
1
x ,
(f) f (x) = e
x cos
1
x
,
(g) f (x) = ln x,
(h) f (x) = cos x cos
π
x
,
(i) f (x) = cotan x.
I.5.2. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont uniformément continues sur
R + ?
(a) f (x) =
√
x,
(b) f (x) = x sin x,
(c) f (x) = sin
2 x,
(d) f (x) = sin(x
2 ),
(e) f (x) = e
x ,
(f) f (x) = e
sin(x 2 ) ,
(g) f (x) = sin(sin x),
(h) f (x) = sin(x sin x),
(i) f (x) = sin
√
x.
I.5.3. Démontrer que si f est uniformément continue sur ]a , b[, a, b ∈ R, alors
les limites lim
x→a +
f (x) et lim
x→b −
f (x) existent et sont finies.
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