Énoncés
I.4.17. Soit f n : A −→ R (n ∈ N ∗ ) des fonctions semi-continues inférieurement
(resp. supérieurement) en x 0 ∈ A. Démontrer que sup
n∈N ∗
f n est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x 0 .
I.4.18. Démontrer que la limite simple d’une suite croissante (resp. décroissante) de fonctions semi-continues inférieurement (resp. supérieurement) est semicontinue inférieurement (resp. supérieurement).
I.4.19. Soit f : A −→ R et x un point adhérent à A. On définit l’oscillation de
f en x par
o f (x) = lim
δ→0 +
sup {|f (z) − f (u)| : z, u ∈ A, |z − x| < δ, |u − x| < δ} .
Prouver que o f (x) = f 1 (x) − f 2 (x), où
f 1 (x) = max
f (x), lim
z→x
f (z)
et f 2 (x) = min
f (x), lim
z→x
f (z)
.
I.4.20. Soit f 1 , f 2 et o f définies comme dans le problème précédent. Prouver
que f 1 et o f sont semi-continues supérieurement et f 2 est semi-continue inférieurement.
I.4.21. Prouver que f : A −→ R est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x 0 ∈ A si et seulement si, pour tout a < f(x 0 ) (resp. a > f(x 0 )),
il existe δ > 0 tel que f (x) > a (resp. a < f(x)) pour tout x ∈ A tel que
|x − x 0 | < δ.
I.4.22. Prouver que f : A −→ R est semi-continue inférieurement (resp.
supérieurement) sur A si et seulement si, pour tout a ∈ R, l’ensemble
{x ∈ A : f (x) > a} (resp. {x ∈ A : f (x) < a}) est ouvert dans A.
I.4.23. Prouver que f : R −→ R est semi-continue inférieurement si et seulement
si l’ensemble
(x, y) ∈ R 2 : y f (x)
est fermé dans R 2 .
Formuler et démontrer une condition nécessaire et suffisante analogue pour
une fonction f semi-continue supérieurement sur R.
I.4.24. Démontrer le théorème de Baire suivant. Toute fonction semi-continue
inférieurement (resp. supérieurement) f : A −→ R est la limite simple d’une suite
croissante (resp. décroissante) de fonctions continues sur A.
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I.4.17. Soit f n : A −→ R (n ∈ N ∗ ) des fonctions semi-continues inférieurement
(resp. supérieurement) en x 0 ∈ A. Démontrer que sup
n∈N ∗
f n est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x 0 .
I.4.18. Démontrer que la limite simple d’une suite croissante (resp. décroissante) de fonctions semi-continues inférieurement (resp. supérieurement) est semicontinue inférieurement (resp. supérieurement).
I.4.19. Soit f : A −→ R et x un point adhérent à A. On définit l’oscillation de
f en x par
o f (x) = lim
δ→0 +
sup {|f (z) − f (u)| : z, u ∈ A, |z − x| < δ, |u − x| < δ} .
Prouver que o f (x) = f 1 (x) − f 2 (x), où
f 1 (x) = max
f (x), lim
z→x
f (z)
et f 2 (x) = min
f (x), lim
z→x
f (z)
.
I.4.20. Soit f 1 , f 2 et o f définies comme dans le problème précédent. Prouver
que f 1 et o f sont semi-continues supérieurement et f 2 est semi-continue inférieurement.
I.4.21. Prouver que f : A −→ R est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x 0 ∈ A si et seulement si, pour tout a < f(x 0 ) (resp. a > f(x 0 )),
il existe δ > 0 tel que f (x) > a (resp. a < f(x)) pour tout x ∈ A tel que
|x − x 0 | < δ.
I.4.22. Prouver que f : A −→ R est semi-continue inférieurement (resp.
supérieurement) sur A si et seulement si, pour tout a ∈ R, l’ensemble
{x ∈ A : f (x) > a} (resp. {x ∈ A : f (x) < a}) est ouvert dans A.
I.4.23. Prouver que f : R −→ R est semi-continue inférieurement si et seulement
si l’ensemble
(x, y) ∈ R 2 : y f (x)
est fermé dans R 2 .
Formuler et démontrer une condition nécessaire et suffisante analogue pour
une fonction f semi-continue supérieurement sur R.
I.4.24. Démontrer le théorème de Baire suivant. Toute fonction semi-continue
inférieurement (resp. supérieurement) f : A −→ R est la limite simple d’une suite
croissante (resp. décroissante) de fonctions continues sur A.
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