Chapitre I. Limites et continuité
I.4.11. Prouver que si f est continue sur ]a , b[, l = lim
x→a
f (x) et L = lim
x→a
f (x),
pour tout λ ∈ [l , L], il existe alors une suite {x n } de points de ]a , b[ convergente
vers a telle que lim
n→+∞
f (x n ) = λ.
I.4.12. Trouver les points où f : R −→ R définie par
f (x) =
0
si x est irrationnel,
sin x si x est rationnel
est semi-continue.
I.4.13. Trouver les points où f : R −→ R définie par
f (x) =
x 2 − 1 si x est irrationnel,
0
si x est rationnel
est semi-continue.
I.4.14. Montrer que la fonction définie par
f (x) =
0 si x est irrationnel ou x = 0,
1
p
si x =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q premiers entre eux
est semi-continue supérieurement.
I.4.15. Trouver les points où la fonction définie par
(a)
f (x) =
|x| si x est irrationnel ou x = 0,
qx
q+1
si x =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q premiers entre eux,
(b)
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(−1) q p
q+1
si x ∈ Q ∩ ]0 , 1], x =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ ,
p et q premiers entre eux,
0
si x ∈ ]0 , 1[ est irrationnel
n’est ni semi-continue supérieurement, ni semi-continue inférieurement.
I.4.16. Soit f, g : A −→ R deux fonctions semi-continues inférieurement (resp.
supérieurement) en x 0 ∈ A. Démontrer que
(a) si a > 0, alors af est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement)
en x 0 . Si a < 0, alors af est semi-continue supérieurement (resp. inférieurement) en x 0 .
(b) f + g est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x 0 .
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