Énoncés
I.4.7. Soit f : A −→ R ∗
+ et x 0 un point d’accumulation de A. Prouver que
lim
x→x 0
1
f (x)
=
1
lim
x→x 0
f (x)
et lim
x→x 0
1
f (x)
=
1
lim
x→x 0
f (x)
.
(On pose
1
+∞ = 0 et
1
0 + = +∞.)
I.4.8. Soit f, g : A −→ R et x 0 un point d’accumulation de A. Prouver que
(en excluant les formes indéterminées du type +∞ − ∞ et −∞ + ∞) l’on a les
inégalités suivantes :
lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x) lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x)
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x).
Donner des exemples de fonctions pour lesquelles les inégalités précédentes sont
strictes.
I.4.9. Soit f, g : A −→ R + et x 0 un point d’accumulation de A. Prouver que
(en excluant les formes indéterminées du type 0 × (+∞) et +∞ × 0) l’on a les
inégalités suivantes :
lim
x→x 0
f (x) × lim
x→x 0
g(x) lim
x→x 0
(f (x) × g(x)) lim
x→x 0
f (x) × lim
x→x 0
g(x)
lim
x→x 0
(f (x) × g(x)) lim
x→x 0
f (x) × lim
x→x 0
g(x).
Donner des exemples de fonctions pour lesquelles les inégalités précédentes sont
strictes.
I.4.10. Prouver que si lim
x→x 0
f (x) existe, on a alors (en excluant les formes indéterminées du type +∞ − ∞ et −∞ + ∞)
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) = lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x),
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) = lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x).
De plus si f et g sont positives, on a alors (en excluant les formes indéterminées
du type 0 × (+∞) et +∞ × 0)
lim
x→x 0
(f (x) × g(x)) = lim
x→x 0
f (x) × lim
x→x 0
g(x),
lim
x→x 0
(f (x) × g(x)) = lim
x→x 0
f (x) × lim
x→x 0
g(x).
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