Chapitre I. Limites et continuité
I.4.1. Prouver que si x 0 est un point d’accumulation de A et f : A −→ R, alors
(a)
lim
x→x 0
f (x) = sup
δ>0
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} ,
(b)
lim
x→x 0
f (x) = inf
δ>0
sup {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} .
I.4.2. Prouver que si x 0 est un point d’accumulation de A et f : A −→ R, alors
(a)
lim
x→x 0
f (x) = lim
δ→0 +
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} ,
(b)
lim
x→x 0
f (x) = lim
δ→0 +
sup {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} .
I.4.3. Prouver que y 0 ∈ R est la limite inférieure de f : A −→ R au point
d’accumulation x 0 de A si et seulement si les deux conditions suivantes sont
vérifiées pour tout ε > 0 :
(i) il existe δ > 0 tel que f (x) > y 0 −ε pour tout x ∈ A tel que 0 < |x − x 0 | < δ,
(ii) pour tout δ > 0, il existe x ∈ A tel que 0 < |x − x 0 | < δ et f (x ) < y 0 + ε.
Établir une proposition semblable pour la limite supérieure de f en x 0 .
I.4.4. Soit f : A −→ R et x 0 un point d’accumulation de A. Démontrer que
(a) lim
x→x 0
f (x) = −∞ si et seulement si pour tout réel y et tout δ > 0 il existe
x ∈ A tel que 0 < |x − x 0 | < δ et f (x ) < y ;
(b) lim
x→x 0
f (x) = +∞ si et seulement si pour tout réel y et tout δ > 0 il existe
x ∈ A tel que 0 < |x − x 0 | < δ et f (x ) > y.
I.4.5. Soit f : A −→ R et x 0 un point d’accumulation de A. Prouver que si
l = lim
x→x 0
f (x) (resp. L = lim
x→x 0
f (x)), il existe alors une suite {x n }, x n ∈ A,
x n = x 0 , convergente vers x 0 et telle que l = lim
n→+∞
f (x n ) (resp. L = lim
n→+∞
f (x n )).
I.4.6. Soit f : A −→ R et x 0 un point d’accumulation de A. Prouver que
lim
x→x 0
(−f (x)) = − lim
x→x 0
f (x) et lim
x→x 0
(−f (x)) = − lim
x→x 0
f (x).
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