Énoncés
I.4. Fonctions semi-continues
Définition 1. La droite réelle achevée R est formée de l’ensemble des nombres
réels auquel on adjoint deux symboles, +∞ et −∞, avec les propriétés suivantes :
(i) Si x est un réel, alors −∞ < x < +∞, x + (+∞) = +∞,
x + (−∞) = −∞,
x
+∞ =
x
−∞ = 0.
(ii) Si x > 0, alors x × (+∞) = +∞, x × (−∞) = −∞.
(iii) Si x < 0, alors x × (+∞) = −∞, x × (−∞) = +∞.
Définition 2. Si A ⊂ R est un ensemble non vide, alors sup A (resp. inf A) est
le plus petit (resp. grand) élément de R supérieur (resp. inférieur) ou égal à
tout élément de A.
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble non vide A ⊂ R.
Définition 3. Si x 0 est un point d’accumulation de A, alors la limite inférieure
(resp. la limite supérieure) de f (x) lorsque x tend vers x 0 est définie comme la
borne inférieure (resp. supérieure) de l’ensemble des y ∈ R tels qu’il existe une
suite {x n } de points de A convergente vers x 0 dont les termes sont différents
de x 0 et tels que y = lim
n→+∞
f (x n ). La limite inférieure et la limite supérieure
de f lorsque x tend vers x 0 sont notées respectivement lim
x→x 0
f (x) et lim
x→x 0
f (x).
Définition 4. Une fonction à valeurs réelles est dite semi-continue inférieurement (resp. supérieurement ) en x 0 ∈ A qui est un point d’accumulation de A
si lim
x→x 0
f (x) f (x 0 ) (resp. lim
x→x 0
f (x) f (x 0 )). Si x 0 est un point isolé de A,
f est alors semi-continue inférieurement et supérieurement en ce point.
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