Chapitre I. Limites et continuité
I.3.23. Soit f : [0 , 1] −→ R une fonction continue et strictement monotone par
morceaux (une fonction f est strictement monotone par morceaux sur [0 , 1] s’il
existe une partition de [0 , 1] en un nombre fini de sous-intervalles [t i−1 , t i ], i =
1, 2, . . . , n et 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n = 1, telle que f soit strictement monotone
sur chacun de ces intervalles). Prouver que f atteint au moins une de ses valeurs
un nombre impair de fois.
I.3.24. Une fonction continue f : [0 , 1] −→ R atteint chacune de ses valeurs un
nombre fini de fois et f (0) = f (1). Prouver que f atteint au moins une de ses
valeurs un nombre impair de fois.
I.3.25. Soit f : K −→ K une fonction continue sur un ensemble compact K ⊂ R.
On suppose de plus qu’il existe x 0 ∈ K tel que toute valeur d’adhérence de la
suite des itérés {f n (x 0 )} soit un point fixe de f . Prouver que la suite {f n (x 0 )}
est convergente.
I.3.26. Soit f : R −→ R une fonction croissante, continue et telle que la fonction
F définie par F (x) = f (x) − x soit périodique de période 1. Prouver que si
α(f ) = lim
n→+∞
f n (0)
n , il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que F (x 0 ) = α(f ). Prouver aussi
que f admet un point fixe dans [0 , 1] si et seulement si α(f ) = 0. (Voir les
problèmes I.1.40-I.1.42.)
I.3.27. Soit f : [0 , 1] −→ R une fonction vérifiant f (0) < 0 et f (1) > 0 telle
qu’il existe une fonction g continue sur [0 , 1] pour laquelle f + g est décroissante.
Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une solution dans l’intervalle ouvert ]0 , 1[.
I.3.28. Démontrer que toute bijection f : R −→ R + a une infinité de points de
discontinuité.
I.3.29. On rappelle que tout x ∈ ]0 , 1[ peut s’écrire sous la forme d’une fraction
binaire 0, a 1 a 2 a 3 . . . , où a i ∈ {0, 1}, i ∈ N ∗ . Dans le cas où x admet deux développements binaires distincts, on choisit celui ayant une infinité de chiffres égaux
à 1. Soit f : ]0 , 1[ −→ [0 , 1] la fonction définie par
f (x) = lim
n→+∞
1
n
n
i=1
a i .
Prouver que f est discontinue en tout point x ∈ ]0 , 1[ mais vérifie néanmoins la
propriété des valeurs intermédiaires.
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I.3.23. Soit f : [0 , 1] −→ R une fonction continue et strictement monotone par
morceaux (une fonction f est strictement monotone par morceaux sur [0 , 1] s’il
existe une partition de [0 , 1] en un nombre fini de sous-intervalles [t i−1 , t i ], i =
1, 2, . . . , n et 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n = 1, telle que f soit strictement monotone
sur chacun de ces intervalles). Prouver que f atteint au moins une de ses valeurs
un nombre impair de fois.
I.3.24. Une fonction continue f : [0 , 1] −→ R atteint chacune de ses valeurs un
nombre fini de fois et f (0) = f (1). Prouver que f atteint au moins une de ses
valeurs un nombre impair de fois.
I.3.25. Soit f : K −→ K une fonction continue sur un ensemble compact K ⊂ R.
On suppose de plus qu’il existe x 0 ∈ K tel que toute valeur d’adhérence de la
suite des itérés {f n (x 0 )} soit un point fixe de f . Prouver que la suite {f n (x 0 )}
est convergente.
I.3.26. Soit f : R −→ R une fonction croissante, continue et telle que la fonction
F définie par F (x) = f (x) − x soit périodique de période 1. Prouver que si
α(f ) = lim
n→+∞
f n (0)
n , il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que F (x 0 ) = α(f ). Prouver aussi
que f admet un point fixe dans [0 , 1] si et seulement si α(f ) = 0. (Voir les
problèmes I.1.40-I.1.42.)
I.3.27. Soit f : [0 , 1] −→ R une fonction vérifiant f (0) < 0 et f (1) > 0 telle
qu’il existe une fonction g continue sur [0 , 1] pour laquelle f + g est décroissante.
Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une solution dans l’intervalle ouvert ]0 , 1[.
I.3.28. Démontrer que toute bijection f : R −→ R + a une infinité de points de
discontinuité.
I.3.29. On rappelle que tout x ∈ ]0 , 1[ peut s’écrire sous la forme d’une fraction
binaire 0, a 1 a 2 a 3 . . . , où a i ∈ {0, 1}, i ∈ N ∗ . Dans le cas où x admet deux développements binaires distincts, on choisit celui ayant une infinité de chiffres égaux
à 1. Soit f : ]0 , 1[ −→ [0 , 1] la fonction définie par
f (x) = lim
n→+∞
1
n
n
i=1
a i .
Prouver que f est discontinue en tout point x ∈ ]0 , 1[ mais vérifie néanmoins la
propriété des valeurs intermédiaires.
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