Énoncés
I.3.15. Soit f et g deux fonctions définies sur R, à valeurs réelles, continues et
qui commutent, autrement dit, f (g(x)) = g(f (x)) pour tout x ∈ R. Prouver que
si l’équation f 2 (x) = g 2 (x) admet une solution, alors l’équation f (x) = g(x) en
admet aussi une (ici, f 2 (x) = f (f (x)) et g 2 (x) = g(g(x))).
Montrer sur un exemple qu’on ne peut pas omettre l’hypothèse de continuité
sur f et g dans ce problème.
I.3.16. Prouver qu’une injection continue f : R −→ R est strictement monotone.
I.3.17. Soit f : R −→ R une injection continue. Prouver que s’il existe un entier
n tel que la n-ième itération de f soit l’identité, autrement dit, tel que f n (x) = x
pour tout x ∈ R, alors
(a) f (x) = x pour tout x ∈ R si f est strictement croissante,
(b) f 2 (x) = x pour tout x ∈ R si f est strictement décroissante.
I.3.18. Soit f : R −→ R une fonction vérifiant la condition f (f (x)) = −x pour
tout x ∈ R. Démontrer que f n’est pas continue.
I.3.19. Trouver toutes les fonctions f : R −→ R vérifiant la propriété des valeurs
intermédiaires et telles qu’il existe n ∈ N ∗ pour lequel f n (x) = −x, x ∈ R, f n
désignant la n-ième itérée de f .
I.3.20. Prouver que si f : R −→ R vérifie la propriété des valeurs intermédiaires
et f −1 ({q}) est fermé pour tout rationnel q, alors f est continue.
I.3.21. Soit f : ]a , +∞[ −→ R une fonction continue et bornée. Prouver que,
étant donné T , il existe une suite {x n } telle que
lim
n→+∞
x n = +∞ et
lim
n→+∞
(f (x n + T ) − f (x n )) = 0.
I.3.22. Donner un exemple de fonction continue f : R −→ R qui atteint chacune
de ses valeurs exactement trois fois. Existe-t-il une fonction continue f : R −→ R
atteignant chacune de ses valeurs exactement deux fois ?
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