Chapitre I. Limites et continuité
I.3.7.
(a) Prouver que l’équation (1 − x) cos x = sin x admet au moins une solution
dans ]0 , 1[.
(b) P étant un polynôme non nul, l’équation |P (x)| = e x admet au moins une
solution dans R.
I.3.8. Soit a 0 < b 0 < a 1 < b 1 < . . . < a n < b n . Prouver que toutes les racines
du polynôme
P (x) =
n
k=0
(x + a k ) + 2
n
k=0
(x + b k ), x ∈ R,
sont réelles.
I.3.9. Soit f et g deux fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires
sur [a , b]. La fonction f + g doit-elle vérifier la propriété des valeurs intermédiaires
sur cet intervalle ?
I.3.10. Soit f ∈ C [0,2] telle que f (0) = f (2). Prouver qu’il existe x 1 , x 2 ∈ [0 , 2]
tels que
x 2 − x 1 = 1 et f (x 2 ) = f (x 1 ).
Donner une interprétation géométrique de ceci.
I.3.11. Soit f ∈ C [0,2] . Prouver qu’il existe x 1 , x 2 ∈ [0 , 2] tels que
x 2 − x 1 = 1 et f (x 2 ) − f (x 1 ) =
1
2
(f (2) − f (0)) .
I.3.12. Soit n ∈ N ∗ et f ∈ C [0,n] telles que f (0) = f (n). Prouver qu’il existe
x 1 , x 2 ∈ [0 , n] tels que
x 2 − x 1 = 1 et f (x 2 ) = f (x 1 ).
I.3.13. Soit n ∈ N ∗ et f ∈ C [0,n] telles que f (0) = f (n). Prouver que, pour tout
k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, il existe x k et x
k tels que f (x k ) = f (x
k ) et x k − x
k = k ou
x k − x
k = n − k. Est-il exact que pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, il existe x k et
x
k tels que f (x k ) = f (x
k ) et x k − x
k = k ?
I.3.14. Soit n ∈ N ∗ et f ∈ C [0,n] telle que f (0) = f (n). Montrer que l’équation
f (x) = f (y) admet au moins n solutions telles que x − y ∈ N ∗ .
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