Énoncés
I.3. Propriété des valeurs intermédiaires
On rappelle la définition suivante :
Définition. Une fonction réelle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (1)
sur un intervalle I contenant [a , b] si pour tout v tel que f (a) < v < f(b) ou
f (b) < v < f(a) (dit autrement, v se trouve entre f (a) et f (b)), il existe c
entre a et b tel que f (c) = v.
I.3.1. Donner des exemples de fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires sur un intervalle I mais qui ne sont pas continues sur cet intervalle.
I.3.2. Prouver qu’une fonction strictement croissante f : [a , b] −→ R vérifiant
la propriété des valeurs intermédiaires est continue sur [a , b].
I.3.3. Soit f : [0 , 1] −→ [0 , 1] une fonction continue. Prouver que f a un point
fixe dans [0 , 1], autrement dit, qu’il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que f (x 0 ) = x 0 .
I.3.4. Soit f, g : [a , b] −→ R des fonctions continues telles que f (a) < g(a) et
f (b) > g(b). Prouver qu’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que f (x 0 ) = g(x 0 ).
I.3.5. Soit f : R −→ R une fonction continue et périodique de période T > 0.
Prouver qu’il existe x 0 tel que
f
x 0 +
T
2
= f (x 0 ).
I.3.6. Soit f : [a , b] −→ R une fonction continue. Prouver que, étant donné
x 1 , x 2 , . . . , x n dans ]a , b[, il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que
f (x 0 ) =
f (x 1 ) + f (x 2 ) + . . . + f (x n )
n
.
(1) Cette propriété est aussi appelée la propriété de Darboux et une fonction la vérifiant, une
fonction de Darboux . (N.d.T.)
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I.3. Propriété des valeurs intermédiaires
On rappelle la définition suivante :
Définition. Une fonction réelle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (1)
sur un intervalle I contenant [a , b] si pour tout v tel que f (a) < v < f(b) ou
f (b) < v < f(a) (dit autrement, v se trouve entre f (a) et f (b)), il existe c
entre a et b tel que f (c) = v.
I.3.1. Donner des exemples de fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires sur un intervalle I mais qui ne sont pas continues sur cet intervalle.
I.3.2. Prouver qu’une fonction strictement croissante f : [a , b] −→ R vérifiant
la propriété des valeurs intermédiaires est continue sur [a , b].
I.3.3. Soit f : [0 , 1] −→ [0 , 1] une fonction continue. Prouver que f a un point
fixe dans [0 , 1], autrement dit, qu’il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que f (x 0 ) = x 0 .
I.3.4. Soit f, g : [a , b] −→ R des fonctions continues telles que f (a) < g(a) et
f (b) > g(b). Prouver qu’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que f (x 0 ) = g(x 0 ).
I.3.5. Soit f : R −→ R une fonction continue et périodique de période T > 0.
Prouver qu’il existe x 0 tel que
f
x 0 +
T
2
= f (x 0 ).
I.3.6. Soit f : [a , b] −→ R une fonction continue. Prouver que, étant donné
x 1 , x 2 , . . . , x n dans ]a , b[, il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que
f (x 0 ) =
f (x 1 ) + f (x 2 ) + . . . + f (x n )
n
.
(1) Cette propriété est aussi appelée la propriété de Darboux et une fonction la vérifiant, une
fonction de Darboux . (N.d.T.)
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