Chapitre I. Limites et continuité
I.2.27. Soit f, g : R −→ R deux fonctions continues et périodiques de périodes
fondamentales respectives T 1 et T 2 strictement positives. Prouver que h = f + g
n’est pas périodique si
T 1
T 2
/
∈ Q.
I.2.28. Soit f, g : R −→ R deux fonctions périodiques telles que f soit continue
et qu’aucune période de g ne soit commensurable avec la période fondamentale
de f . Prouver que f + g n’est pas une fonction périodique.
I.2.29. Prouver que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction monotone f : R −→ R est au plus dénombrable.
I.2.30. Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Prouver que
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
(−1)
k f
k
n
= 0.
I.2.31. Soit f une fonction continue sur [0 , 1]. Prouver que
lim
n→+∞
1
2 n
n
k=0
(−1)
k
n
k
f
k
n
= 0.
I.2.32. Soit f : R ∗
+ −→ R une fonction continue telle que f (x) f (nx) pour
tout x > 0 et tout n ∈ N ∗ . Montrer que lim
n→+∞
f (x) existe (finie ou infinie).
I.2.33. Une fonction f définie sur un intervalle I ⊂ R est convexe sur I si
f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 )
pour tout x 1 , x 2 ∈ I et λ ∈ ]0 , 1[. Prouver que si f est convexe sur un intervalle
ouvert, elle est continue. Une fonction convexe sur un intervalle quelconque est-elle
continue ?
I.2.34. Prouver que si une suite {f n } de fonctions continues sur A converge
uniformément sur A vers une limite f , la fonction f est alors continue sur A.
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