Énoncés
I.2.21. Soit f une fonction continue sur R telle que lim
x→−∞
f (x) = −∞ et
lim
x→+∞
f (x) = +∞. On définit g en posant
g(x) = sup {t : f (t) < x} pour x ∈ R.
(a) Prouver que la fonction g est continue à gauche.
(b) La fonction g est-elle continue ?
I.2.22. Soit f : R −→ R une fonction continue périodique ayant deux périodes
incommensurables T 1 et T 2 , c’est-à-dire telles que
T 1
T 2
soit irrationnel. Prouver
que f est une fonction constante. Donner un exemple de fonction périodique non
constante ayant deux périodes incommensurables.
I.2.23.
(a) Prouver que si f : R −→ R est une fonction continue, périodique et non
constante, elle admet alors une plus petite période strictement positive appelée période fondamentale.
(b) Donner un exemple de fonction périodique et non constante n’admettant
pas de période fondamentale.
(c) Prouver que si f : R −→ R est une fonction périodique sans période fondamentale, alors l’ensemble de ses périodes est dense dans R.
I.2.24.
(a) Prouver que le théorème énoncé dans la partie (a) du problème précédent
reste vrai lorsque la continuité de f sur R est remplacée par la continuité
en un point.
(b) Prouver que si f : R −→ R est une fonction périodique sans période fondamentale et continue en un point, elle est constante.
I.2.25. Démontrer que si f, g : R −→ R sont continues, périodiques et telles que
lim
x→+∞
(f (x) − g(x)) = 0, alors f = g.
I.2.26. Donner un exemple de deux fonctions périodiques f et g telles que toute
période de f est incommensurable avec toute période de g et telles que f + g
(a) n’est pas périodique,
(b) est périodique.
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I.2.21. Soit f une fonction continue sur R telle que lim
x→−∞
f (x) = −∞ et
lim
x→+∞
f (x) = +∞. On définit g en posant
g(x) = sup {t : f (t) < x} pour x ∈ R.
(a) Prouver que la fonction g est continue à gauche.
(b) La fonction g est-elle continue ?
I.2.22. Soit f : R −→ R une fonction continue périodique ayant deux périodes
incommensurables T 1 et T 2 , c’est-à-dire telles que
T 1
T 2
soit irrationnel. Prouver
que f est une fonction constante. Donner un exemple de fonction périodique non
constante ayant deux périodes incommensurables.
I.2.23.
(a) Prouver que si f : R −→ R est une fonction continue, périodique et non
constante, elle admet alors une plus petite période strictement positive appelée période fondamentale.
(b) Donner un exemple de fonction périodique et non constante n’admettant
pas de période fondamentale.
(c) Prouver que si f : R −→ R est une fonction périodique sans période fondamentale, alors l’ensemble de ses périodes est dense dans R.
I.2.24.
(a) Prouver que le théorème énoncé dans la partie (a) du problème précédent
reste vrai lorsque la continuité de f sur R est remplacée par la continuité
en un point.
(b) Prouver que si f : R −→ R est une fonction périodique sans période fondamentale et continue en un point, elle est constante.
I.2.25. Démontrer que si f, g : R −→ R sont continues, périodiques et telles que
lim
x→+∞
(f (x) − g(x)) = 0, alors f = g.
I.2.26. Donner un exemple de deux fonctions périodiques f et g telles que toute
période de f est incommensurable avec toute période de g et telles que f + g
(a) n’est pas périodique,
(b) est périodique.
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