Chapitre I. Limites et continuité
I.2.14. Prouver que si f ∈ C [a,b] , alors les fonctions définies par
m(x) = inf {f (ζ) : ζ ∈ [a , x]} et M (x) = sup {f (ζ) : ζ ∈ [a , x]}
sont aussi continues sur [a , b].
I.2.15. Soit f une fonction bornée sur [a , b]. Prouver que les fonctions définies
par
m(x) = inf {f (ζ) : ζ ∈ [a , x[} et M (x) = sup {f (ζ) : ζ ∈ [a , x[}
sont continues à gauche sur ]a , b[.
I.2.16. Vérifier si, sous les hypothèses du problème précédent, les fonctions
m
(x) = inf {f (ζ) : ζ ∈ [a , x]} et M
(x) = sup {f (ζ) : ζ ∈ [a , x]}
sont continues à gauche sur ]a , b[.
I.2.17. Soit f une fonction continue sur [a , +∞[ telle que lim
x→+∞
f (x) soit finie.
Prouver que f est bornée sur [a , +∞[.
I.2.18. Soit f une fonction continue sur R et {x n } une suite bornée. Les égalités
lim
n→+∞
f (x n ) = f
lim
n→+∞
x n
et
lim
n→+∞
f (x n ) = f
lim
n→+∞
x n
sont-elles vraies ?
I.2.19. Soit f : R −→ R une fonction croissante et continue et soit {x n } une
suite bornée. Montrer que
lim
n→+∞
f (x n ) = f
lim
n→+∞
x n
,
(1)
lim
n→+∞
f (x n ) = f
lim
n→+∞
x n
.
(2)
I.2.20. Soit f : R −→ R une fonction décroissante et continue et soit {x n } une
suite bornée. Montrer que
lim
n→+∞
f (x n ) = f
lim
n→+∞
x n
,
(1)
lim
n→+∞
f (x n ) = f
lim
n→+∞
x n
.
(2)
10