Énoncés
I.2.8. Étudier la continuité des fonctions suivantes et tracer leur graphe :
(a)
f (x) = lim
n→+∞
n x − n −x
n x + n −x , x ∈ R,
(b)
f (x) = lim
n→+∞
x 2 e nx + x
e nx + 1
, x ∈ R,
(c)
f (x) = lim
n→+∞
ln (e n + x n )
n
, x ∈ R + ,
(d)
f (x) = lim
n→+∞
n
4 n + x 2n +
1
x 2n , x ∈ R
∗ ,
(e)
f (x) = lim
n→+∞
2n
cos 2n x + sin
2n x, x ∈ R.
I.2.9. Prouver que si f : R −→ R est continue et périodique, elle atteint sa borne
supérieure et sa borne inférieure.
I.2.10. Pour P (x) = x 2n + a 2n−1 x 2n−1 + . . . + a 1 x + a 0 , prouver qu’il existe
x ∈ R tel que P (x ) = inf {P (x) : x ∈ R}. Prouver aussi que la valeur absolue
de tout polynôme P atteint sa borne inférieure, autrement dit qu’il existe x ∈ R
tel que |P (x )| = inf {|P (x)| : x ∈ R}.
I.2.11.
(a) Donner un exemple de fonction bornée sur [0 , 1] qui n’atteint ni sa borne
supérieure ni sa borne inférieure.
(b) Donner un exemple de fonction bornée sur [0 , 1] qui n’atteint sa borne
inférieure sur aucun intervalle [a , b] ⊂ [0 , 1], a < b.
I.2.12. Pour f : R −→ R, x 0 ∈ R et δ > 0, on pose
ω f (x 0 , δ) = sup {|f (x) − f (x 0 )| : x ∈ R, |x − x 0 | < δ}
et ω f (x 0 ) = lim
δ→0 +
ω f (x 0 , δ). Démontrer que f est continue en x 0 si et seulement
si ω f (x 0 ) = 0.
I.2.13.
(a) Soit f, g ∈ C [a,b] . Pour x ∈ [a , b], on pose h(x) = min {f (x), g(x)} et
H(x) = max {f (x), g(x)} .
Prouver que h, H ∈ C [a,b] .
(b) Soit f 1 , f 2 , f 3 ∈ C [a,b] . Pour x ∈ [a , b], on note f (x) la valeur parmi f 1 (x),
f 2 (x), f 3 (x) se trouvant entre les deux autres. Prouver que f ∈ C [a,b] .
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