Chapitre I. Limites et continuité
I.2.2. Trouver tous les points où la fonction f définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
x 2 − 1 si x est irrationnel,
0
si x est rationnel
est continue.
I.2.3. Étudier la continuité des fonctions suivantes :
(a) f (x) =
⎧
⎨
⎩
0 si x est irrationnel ou x = 0,
1/q si x = p/q, p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q étant premiers entre eux,
(b) f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
|x|
si x est irrationnel ou x = 0,
qx
q + 1
si x = p/q, p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q étant premiers entre eux.
(La fonction définie en (a) est appelée fonction de Riemann.)
I.2.4. Prouver que si f ∈ C [a,b] , alors |f | ∈ C [a,b] . Montrer sur un exemple que
la réciproque est fausse.
I.2.5. Déterminer toutes les valeurs de a n et b n pour lesquelles la fonction définie
par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
a n + sin πx si x ∈ [2n , 2n + 1], n ∈ Z,
b n + cos πx si x ∈ ]2n − 1 , 2n[, n ∈ Z,
est continue sur R.
I.2.6. On pose f (x) =
x 2
sin πx pour x ∈ R. Étudier la continuité de f .
I.2.7. Pour x
1
2 , on pose
f (x) = [x] + (x − [x])
[x] .
Prouver que f est continue et qu’elle est strictement croissante sur [1 , +∞[.
8