Énoncés
I.1.38. Montrer que si lim
x→a
f (x) = A et lim
y→A
y =A
g(y) = B, alors lim
x→a
g(f (x)) = B,
pour autant que (g ◦ f )(x) = g(f (x)) soit bien définie et que f n’atteigne pas la
valeur A dans un voisinage épointé de a.
I.1.39. Trouver des fonctions f et g telles que lim
x→a
f (x) = A et lim
y→A
g(y) = B,
mais lim
x→a
g(f (x)) = B.
I.1.40. Soit f : R −→ R une fonction croissante telle que x → f (x) − x soit
périodique de période 1. On note f n la n-ième itérée de f , autrement dit, f 1 = f
et f n = f ◦ f n−1 pour n 2. Prouver que si lim
n→+∞
f n (0)
n
existe, alors
lim
n→+∞
f n (x)
n
= lim
n→+∞
f n (0)
n
pour tout x ∈ R.
I.1.41. Soit f : R −→ R une fonction croissante telle que x → f (x) − x soit
périodique de période 1 et f (0) > 0. On note f n la n-ième itérée de f . Soit
p ∈ N ∗ . Prouver que si m p est le plus petit entier strictement positif tel que
f mp (0) > p, alors
p
m p
lim
n→+∞
f n (0)
n
lim
n→+∞
f n (0)
n
p
m p
+
1 + f (0)
m p
.
I.1.42. Soit f : R −→ R une fonction croissante telle que x → f (x) − x soit
périodique de période 1. Montrer que lim
n→+∞
f n (x)
n
existe et que sa valeur est la
même pour tout x ∈ R, f n représentant la n-ième itérée de f .
I.2. Propriétés des fonctions continues
I.2.1. Trouver tous les points où la fonction f définie par
f (x) =
0
si x est irrationnel,
sin |x| si x est rationnel
est continue.
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