Chapitre I. Limites et continuité
I.1.31. Soit f une fonction définie sur ]a , +∞[, bornée sur tout intervalle borné
]a , b[ (a < b) et telle que f (x) c > 0 pour tout x ∈ ]a , +∞[. Prouver que si
lim
x→+∞
f (x+1)
f (x) existe, alors lim
x→+∞
(f (x))
1
x existe aussi et
lim
x→+∞
(f (x))
1
x = lim
x→+∞
f (x + 1)
f (x)
.
I.1.32. On suppose que lim
x→0
f
1
x
−1
= 0. Ceci implique-t-il que lim
x→0
f (x)
existe ?
I.1.33. Soit f : R −→ R une fonction telle que la suite
f
a
n
converge vers 0
pour tout a ∈ R. La fonction f admet-elle une limite en 0 ?
I.1.34. Prouver que lim
x→0
f (x) = 0 si lim
x→0
f
x
1
x −
1
x
= 0.
I.1.35. Prouver que si f est croissante (resp. décroissante) sur ]a , b[, on a alors,
pour tout x 0 ∈ ]a , b[,
(a) f (x
+
0 ) = lim
x→x
+
0
f (x) = inf
x>x 0
f (x) (resp. f (x
+
0 ) = sup
x>x 0
f (x)),
(b) f (x
−
0 ) = lim
x→x
−
0
f (x) = sup
x f (x) (resp. f (x
−
0 ) = inf
x f (x)),
(c) f (x
−
0 ) f (x 0 ) f (x
+
0 ) (resp. f (x
−
0 ) f (x 0 ) f (x
+
0 )).
I.1.36. Prouver que si f est croissante sur ]a , b[, on a alors, pour tout x 0 ∈ ]a , b[,
(a) lim
x→x
+
0
f (x − ) = f (x
+
0 ),
(b) lim
x→x
−
0
f (x + ) = f (x
−
0 ).
I.1.37. Prouver le théorème de Cauchy suivant. Pour que f ait une limite lorsque
x tend vers a, il faut et il suffit que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que
|f (x) − f (x )| < ε dès que 0 < |x − a| < δ et 0 < |x − a| < δ. Formuler et prouver
une condition nécessaire et suffisante analogue pour que lim
x→+∞
f (x) existe.
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