Énoncés
I.1.23. Calculer
(a)
lim
x→0 +
2 sin
√
x +
√
x sin
1
x
x
,
(b)
lim
x→0
1 + xe
−
1
x 2 sin
1
x 4
exp
1
x 2
,
(c)
lim
x→0
1 + e
−
1
x 2 Arctan
1
x 2 + xe
−
1
x 2 sin
1
x 4
exp
1
x 2
.
I.1.24. Soit f : R + −→ R une fonction telle que la suite {f (a + n)} converge
vers 0 pour tout a 0. La limite lim
x→+∞
f (x) existe-t-elle ?
I.1.25. Soit f : R + −→ R une fonction telle que la suite {f (an)} converge vers 0
pour tout a > 0. La limite lim
x→+∞
f (x) existe-t-elle ?
I.1.26. Soit f : R + −→ R une fonction telle que la suite {f (a + bn)} converge
vers 0 pour tout a 0 et tout b > 0. La limite lim
x→+∞
f (x) existe-t-elle ?
I.1.27. Prouver que si lim
x→0
f (x) = 0 et lim
x→0
f (2x)−f (x)
x
= 0, alors lim
x→0
f (x)
x = 0.
I.1.28. Soit f une fonction définie sur ]a , +∞[ et bornée sur tout intervalle borné
]a , b[, a < b. Prouver que si lim
x→+∞
(f (x + 1) − f (x)) = l, alors lim
x→+∞
f (x)
x = l.
I.1.29. Soit f une fonction définie sur ]a , +∞[ et minorée sur tout intervalle borné ]a , b[, a < b. Prouver que si lim
x→+∞
(f (x + 1) − f (x)) = +∞, alors
lim
x→+∞
f (x)
x = +∞.
I.1.30. Soit f une fonction définie sur ]a , +∞[ et bornée sur tout intervalle
borné ]a , b[, a < b. Si lim
x→+∞
f (x+1)−f (x)
x k
existe pour un entier k ∈ N, alors
lim
x→+∞
f (x)
x k+1 =
1
k + 1
lim
x→+∞
f (x + 1) − f (x)
x k
.
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