Chapitre I. Limites et continuité
I.1.16. Prouver que lim
x→0
ln(1 + x) = 0. En déduire que la fonction logarithme
est continue sur R ∗
+ .
I.1.17. Déterminer les limites suivantes :
(a) lim
x→0
ln(1 + x)
x
,
(b) lim
x→0
a x − 1
a
, a > 0,
(c) lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
, α ∈ R.
I.1.18. Trouver
(a)
lim
x→+∞
(ln x)
1
x ,
(b)
lim
x→0 +
x
sin x ,
(c) lim
x→0
(cos x)
1
sin 2 x ,
(d)
lim
x→+∞
(e
x
− 1)
1
x ,
(e)
lim
x→0 +
(sin x)
1
ln x .
I.1.19. Déterminer les limite suivantes :
(a) lim
x→0
sin 2x + 2 Arctan 3x + 3x 2
ln
1 + 3x + sin
2 x
+ xe x ,
(b) lim
x→0
ln cos x
tan x 2 ,
(c)
lim
x→0 +
√
1 − e −x −
√
1 − cos x
√
sin x
,
(d) lim
x→0
1 + x
2
cotan x .
I.1.20. Calculer
(a)
lim
x→+∞
tan
πx
2x + 1
1
x
,
(b)
lim
x→+∞
x
ln
1 +
x
2
− ln
x
2
.
I.1.21. On suppose que lim
x→0 +
g(x) = 0 et qu’il existe α ∈ R et m, M strictement
positifs tels que m
f (x)
x α M pour x > 0 dans un voisinage de 0. Prouver
que si α lim
x→0 +
g(x) ln x = γ, alors lim
x→0 +
f (x) g(x) = e γ . Dans le cas où γ = +∞ ou
γ = −∞, on prend les conventions e +∞ = +∞ et e −∞ = 0.
I.1.22. On suppose que lim
x→0
f (x) = 1 et lim
x→0
g(x) = +∞. Prouver que si
lim
x→0
g(x)(f (x) − 1) = γ, alors lim
x→0
f (x) g(x) = e γ .
4