Énoncés
I.1.8. Montrer sur un exemple que la condition
lim
x→0
(f (x) + f (2x)) = 0
(∗)
n’implique pas que f admet une limite en 0. Prouver que s’il existe une fonction
ϕ telle que, dans un voisinage épointé de 0, l’inégalité f (x) ϕ(x) est vérifiée et
lim
x→0
ϕ(x) = 0, alors (∗) implique lim
x→0
f (x) = 0.
I.1.9.
(a) Donner un exemple de fonction f vérifiant la condition
lim
x→0
(f (x)f (2x)) = 0
et telle que lim
x→0
f (x) n’existe pas.
(b) Montrer que si les inégalités f (x) |x|
α (
1
2 < α < 1) et f (x)f (2x) |x|
sont vérifiées dans un voisinage épointé de 0, alors lim
x→0
f (x) = 0.
I.1.10. Soit α ∈ R. On suppose que lim
x→+∞
f (ax)
x α
= g(a) pour tout a ∈ R ∗
+ .
Prouver qu’il existe c tel que g(a) = ca α .
I.1.11. Soit f : R −→ R une fonction monotone telle que lim
x→+∞
f (2x)
f (x) = 1. Prouver que lim
x→+∞
f (cx)
f (x) = 1 pour tout c > 0.
I.1.12. Prouver que si a > 1 et α ∈ R, alors
(a)
lim
x→+∞
a x
x
= +∞,
(b)
lim
x→+∞
a x
x α = +∞.
I.1.13. Prouver que lim
x→+∞
ln x
x α = 0 si α > 0.
I.1.14. Pour a > 0, prouver que lim
x→0
a x = 1. Utiliser cette égalité pour prouver
la continuité de la fonction exponentielle.
I.1.15. Montrer que
(a)
lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= e,
(b)
lim
x→−∞
1 +
1
x
x
= e,
(c) lim
x→0
(1 + x)
1
x = e.
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