Chapitre I. Limites et continuité
I.1.1. Trouver les limites suivantes ou dire si elles n’existent pas.
(a) lim
x→0
x cos
1
x
,
(b) lim
x→0
x
1
x
,
(c) lim
x→0
x
a
b
x
, a,b > 0,
(d) lim
x→0
[x]
x
,
(e)
lim
x→+∞
x
x 2 + 1 −
3
x 3 + 1
,
(f) lim
x→0
cos
π
2 cos x
sin(sin x)
.
I.1.2. Soit f : ]−a , a[ \ {0} −→ R une fonction. Démontrer que
(a) lim
x→0
f (x) = l si et seulement si lim
x→0
f (sin x) = l,
(b) si lim
x→0
f (x) = l, alors lim
x→0
f (|x|) = l. L’implication réciproque est-elle
exacte ?
I.1.3. Soit f : ]−a , a[\{0} −→ R ∗
+ une fonction vérifiant lim
x→0
f (x) +
1
f (x)
= 2.
Montrer que lim
x→0
f (x) = 1.
I.1.4. Soit f une fonction définie sur un voisinage épointé de a telle que
lim
x→a
f (x) +
1
|f (x)|
= 0. Déterminer lim
x→a
f (x).
I.1.5. Prouver que si f est une fonction bornée sur [0 , 1] vérifiant f (ax) = bf (x)
pour 0 x
1
a et a, b > 1, alors lim
x→0 +
f (x) = f (0).
I.1.6. Calculer
(a)
lim
x→0
x
2
1 + 2 + 3 + . . . +
1
|x|
,
(b)
lim
x→0 +
x
1
x
+
2
x
+ . . . +
k
x
, k ∈ N
∗ .
I.1.7. Calculer lim
x→+∞
[P (x)]
P ([x]) , où P est un polynôme à coefficients strictement
positifs.
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