Chapitre III. Suites et séries de fonctions
et, d’après III.4.4,
f (w, p) = 1 +
+∞
n=1
1
2n + 1
1
p
− 1
1
p
− 2
· · ·
1
p
− 2n
·
1
(2n)!
w
2n .
En conséquence, pour prouver que f (w, p) < g(w), il suffit de montrer que
1
p
− 1
1
p
− 2
· · ·
1
p
− 2n
1
(2n)!
1
pour tout n ∈ N ∗ et que l’inégalité est stricte pour au moins une valeur de n.
Pour n = 1, on a
1
p
− 1
1
p
− 2
·
1
2
1 pour p
1
3
car
1
2p 2 −
3
2p
+ 1 = 1 −
1
2p
3 −
1
p
< 1 si 0 <
1
p
< 3.
Donc,
Q n =
1
p − 1
1
p − 2
· · ·
1
p − 2n
(2n)!
=
1 −
1
p
1 −
1
2p
Q 1
1 −
1
3p
· · ·
1 −
1
2np
<1
pour p
1
3 . Ainsi, Q 1 1 pour p
1
3 et la dernière inégalité montre que
Q n < 1 pour n = 2, 3, . . . .
III.4.28. [Tung-Po Lin, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 879-883]. On adopte les
notations utilisées dans la solution du problème précédent. On a Q 1 > 1 pour
p <
1
3 . Il existe donc 0 < h < 1 tel que f (w, p) > g(w) si 0 < w < h. On
observe alors que l’on peut écrire l’inégalité 0 < w < h sous la forme
1 < z < r
p , où r =
1 + h
1 − h
1/p
et z =
x
y
p
.
Ceci signifie qu’il existe r > 1 tel que L(x, y) > M p (x, y) si 1 <
x
y < r.
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