Solutions
III.4.26. D’après la formule de Taylor prouvée en II.3.10, on a
ln(1 + x) = 2
N
n=0
1
2n + 1
x
2 + x
2n+1
+ R N (x)
où
R N (x) =
2
(2N + 1)(1 + θx) 2N +3
x
2
2N +3
.
Clairement, lim
N →+∞
R N (x) = 0 pour x ∈ ]0 , 2[. En conséquence,
ln(1 + x) = 2
+∞
n=0
1
2n + 1
x
2 + x
2n+1
.
III.4.27. [Tung-Po Lin, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 879-883]. Par définition,
L(x, y)
M p (x, y)
=
x−y
ln x−ln y
x p +y p
2
1/p =
2 1/p (x − y)
(x p + y p )
1/p ln
x
y
pour x et y strictement positifs et distincts et p = 0. En divisant numérateur
et dénominateur par y et en posant z =
x
y
p
, on obtient
L(x, y)
M p (x, y)
=
2 1/p
z 1/p − 1
(z + 1)
1/p ln z 1/p
.
En écrivant maintenant
z =
1 + w
1 − w
w =
z − 1
z + 1
, 0 < |w| < 1
et en multipliant le numérateur et le dénominateur par
(1−w)
1/p
2w
, on arrive à
L(x, y)
M p (x, y)
=
p2 1/p
1+w
1−w
1/p − 1
1+w
1−w + 1
1/p
ln
1+w
1−w
=
p((1+w)
1/p −(1−w)
1/p )
2w
ln(1+w)−ln(1−w)
2w
=
f (w, p)
g(w)
.
Clairement,
g(w) =
+∞
n=0
1
2n + 1
w
2n
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