Solutions
(c) L’égalité
1
n 2 + n − 2
=
1
3
1
n − 1
−
1
n + 2
implique
+∞
n=2
(−1)
n
n 2 + n − 2
x
n−1 =
1
3
+∞
n=2
(−1)
n
n − 1
x
n−1
−
1
3
+∞
n=2
(−1)
n
n + 2
x
n−1
=
1
3
+∞
n=1
(−1)
n−1 x n
n
+
1
3x 3
+∞
n=4
(−1)
n−1 x n
n
=
1
3
ln(1 + x) +
1
3x 3
ln(1 + x) − x +
x 2
2
−
x 3
3
si 0 < |x| < 1. Ceci, combiné au théorème d’Abel, donne
+∞
n=2
(−1)
n
n 2 + n − 2
=
2
3
ln 2 −
5
18
.
(d) La somme est égale à
π
2 − ln 2. Pour le voir, appliquez III.4.12(a) et le
théorème d’Abel.
(e) La formule du binôme de Newton (voir III.4.4) donne
1
√
1 + x 2
= 1 +
+∞
n=1
(−1)
n (2n − 1)!!
(2n)!!
x
2n pour |x| < 1
et, d’après le théorème d’Abel,
+∞
n=1
(−1)
n (2n − 1)!!
(2n)!!
=
1
√
2
.
(f) Clairement,
+∞
n=0
(3x)
n+1
n!
= 3xe
3x , x ∈ R.
Donc,
3
+∞
n=0
(3x)
n (n + 1)
n!
=
3xe
3x
= e
3x (3 + 9x).
En prenant x = 1, on a
+∞
n=0
3 n (n + 1)
n!
= 4e
3 .
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