Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.4.14. L’intervalle de convergence de la série est ]−1 , 1[. On note S(x) la
somme de la série sur cet intervalle. On a alors
S
(x) = 2
+∞
n=1
((n − 1)!)
2
(2n − 1)!
(2x)
2n−1
et
S
(x) = 4
+∞
n=1
((n − 1)!)
2
(2n − 2)!
(2x)
2n−2 .
Il s’ensuit que
1 − x
2
S
(x) − xS
(x) = 4, |x| < 1.
En multipliant les deux membres de cette égalité par
1 − x 2 −
1
2 , on obtient
1 − x 2 S
(x)
=
4
√
1 − x 2
.
En conséquence,
S
(x) =
4
√
1 − x 2
Arcsin x +
C
√
1 − x 2
et S(x) = 2(Arcsin x) 2 + C arcsin x + D. Puisque S (0) = S(0) = 0, on obtient
S(x) = 2 (Arcsin x)
2 .
Si x = ±1, on obtient alors la série
+∞
n=1
((n − 1)!)
2
(2n)!
4
n
qui converge d’après le critère de Gauss (voir, par exemple, III.2.25 (vol. I)).
En effet, on a
a n+1
a n
= 1 −
6
4n
+ O
1
n 2
.
Le théorème d’Abel (voir III.3.14) donne donc
+∞
n=1
((n − 1)!)
2
(2n)!
4
n =
π 2
2
.
III.4.15. On a, pour a ∈ I,
f (x) = f (a) +
f (a)
1!
(x − a) + · · · +
f (n) (a)
n!
(x − a)
n + R n (x)
où
R n (x) =
1
n!
x
a
f
(n+1) (s) (x − s)
n ds.
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