Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.4.12.
(a) En appliquant le développement en série de Taylor de Arctan x (donné
au problème précédent) et de ln
1 + x 2
, on obtient
x Arctan x −
1
2
ln
1 + x
2
=
+∞
n=1
(−1)
n−1 x 2n
2n(2n − 1)
, x ∈ ]−1 , 1[ .
(b) En appliquant le développement en série de Taylor de Arcsin x (donné au
problème précédent) et la formule du binôme de Newton (voir III.4.4),
on obtient
x Arcsin x +
1 − x 2 = 1 +
x 2
2
+
+∞
n=2
(2n − 3)!!
(2n)!!(2n − 1)
x
2n , x ∈ ]−1 , 1[ .
III.4.13.
(a) Soit
f (x) =
+∞
n=1
1
n(n + 1)
x
n+1 , |x| 1.
On a
f
(x) =
+∞
n=1
1
n
x
n = − ln(1 − x), |x| < 1.
Donc,
f (x) = (1 − x) ln(1 − x) + x pour |x| < 1.
Le théorème d’Abel donne alors
+∞
n=1
(−1)
n+1
n(n + 1)
= 2 ln 2 − 1.
(b) Pour x ∈ R, on a
+∞
n=0
(−1)
n n
(2n + 1)!
x
2n+1 =
1
2
x
+∞
n=0
(−1)
n
(2n)!
x
2n
−
1
2
+∞
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
x
2n+1
=
1
2
(x cos x − sin x) .
En prenant x = 1, on obtient
+∞
n=0
(−1)
n n
(2n + 1)!
=
1
2
(cos 1 − sin 1) .
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