Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(g) Puisque
1
1−5x+6x 2 =
3
1−3x −
2
1−2x , on obtient
1
1 − 5x + 6x 2 =
+∞
n=0
3
n+1
− 2
n+1
x
n
pour x ∈
−
1
3 ,
1
3
.
(h) On sait que
e
x =
+∞
n=0
x n
n!
pour x ∈ R
et
1
1 − x
=
+∞
n=0
x
n pour x ∈ ]−1 , 1[ .
D’après le théorème de Mertens (voir, par exemple, III.6.1 (vol. I)), le
produit de Cauchy de ces deux séries converge pour |x| < 1 et
e x
1 − x
=
+∞
n=0
1 +
1
1!
+
1
2!
+ · · · +
1
n!
x
n .
III.4.10.
(a) On a
f (x + 1) = (x + 2)e
x+1 =
+∞
n=0
e(n + 2)
n!
x
n , x ∈ R.
Donc,
f (x) =
+∞
n=0
e(n + 2)
n!
(x − 1)
n , x ∈ R.
(b) Comme en III.4.9(h), on peut montrer que
f (x + 1) = e
+∞
n=0
(−1)
n
n
k=0
(−1)
k
k!
x
n , x ∈ ]−1 , 1[ .
Donc,
f (x) = e
+∞
n=0
(−1)
n
n
k=0
(−1)
k
k!
(x − 1)
n , x ∈ ]0 , 2[ .
(c) Appliquez l’identité
cos x
x
=
cos 1 cos(x − 1) − sin 1 sin(x − 1)
1 + (x − 1)
.
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