Solutions
on obtient
sin x
3 =
+∞
n=0
(−1)
n x 6n+3
(2n + 1)!
, x ∈ R.
(b) En utilisant l’identité sin
3 x =
3
4 sin x −
1
4 sin 3x, x ∈ R, on obtient
sin
3 x =
3
4
+∞
n=0
(−1)
n+1
3
2n
− 1
x 2n+1
(2n + 1)!
, x ∈ R.
(c) On a sin x cos 3x =
1
2 (sin 4x − sin 2x) pour x ∈ R. Donc,
sin x cos 3x =
1
2
+∞
n=0
(−1)
n
4
2n+1
− 2
2n+1
x 2n+1
(2n + 1)!
, x ∈ R.
(d) On a sin
6 x + cos 6 x =
5
8 +
3
8 cos 4x (x ∈ R) et
cos x =
+∞
n=0
(−1)
n x 2n
(2n)!
(x ∈ R).
Donc,
sin
6 x + cos
6 x =
5
8
+
3
8
+∞
n=0
(−1)
n 4
2n x 2n
(2n)!
(x ∈ R).
(e) Puisque
ln(1 + x) =
+∞
n=1
(−1)
n+1 x n
n
, x ∈ ]−1 , 1[ ,
on obtient
1
2
ln
1 + x
1 − x
=
1
2
(ln(1 + x) − ln(1 − x)) =
+∞
n=0
x 2n+1
2n + 1
, x ∈ ]−1 , 1[ .
(f) Clairement, ln
1 + x + x 2
= ln
1−x 3
1−x pour x ∈ ]−1 , 1[. Donc, comme
en (e), on a
ln
1 + x + x
2
=
+∞
n=1
a n x
n , x ∈ ]−1 , 1[ ,
où
a n =
−
2
n
pour n = 3k, k ∈ N ∗ ,
1
n
pour n = 3k, k ∈ N ∗ .
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