Solutions
On se tourne maintenant vers la démonstration du théorème de Hardy et
Littlewood. On peut supposer, sans perte de généralité, que A = 1. On prouve
d’abord que
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n P (x
n ) =
1
0
P (t) dt
pour tout polynôme P . Il suffit de prouver l’égalité pour P (x) = x k . On a
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n+kn = lim
x→1 −
1 − x
1 − x k+1
1 − x
k+1
+∞
n=0
a n x
(k+1)n
=
1
k + 1
=
1
0
t
k dt.
On définit maintenant ϕ par
ϕ(x) =
0 si 0 x < e −1 ,
1
x
si e −1 x 1.
Notre but est de prouver que
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n ϕ (x
n ) =
1
0
ϕ(t) dt = 1.
(1)
Les considérations présentées au début de la solution impliquent que, étant
donné ε > 0, il existe deux polynômes P 1 et P 2 tels que
P 1 (x) −
ε
2
h(x) ϕ(x) g(x) P 2 +
ε
2
et
1
0
(P 2 (x) − ϕ(x)) dx < ε,
1
0
(ϕ(x) − P 1 (x)) dx < ε.
Puisque a n 0, on obtient
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n ϕ (x
n ) lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n P 2 (x
n ) +
ε
2
=
1
0
P 2 (t) dt +
ε
2
<
1
0
ϕ(t) dt +
3ε
2
.
Donc,
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n ϕ (x
n )
1
0
ϕ(t) dt.
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