Chapitre III. Suites et séries de fonctions
où l(x) est la fonction affine telle que l(c−δ) = ϕ(c−δ) et l(c) = ϕ(c). La fonction g est continue et ϕ g sur [0 , 1]. D’après le théorème d’approximation
de Weierstrass (voir III.1.33), il existe un polynôme P 2 tel que
|g(x) − P 2 (x)| <
ε
2
pour x ∈ [0 , 1].
On définit de même
h(x) =
ϕ(x)
si x ∈ [0 , c[ ∪ [c + δ , 1],
min {l 1 (x), ϕ(x)} si x ∈ [c , c + δ[,
où l 1 (x) est la fonction affine telle que l 1 (c) = ϕ(c − ) et l 1 (c + δ) = ϕ(c + δ).
Clairement, h est continue et h ϕ sur [0 , 1]. D’après le théorème d’approximation de Weierstrass, il existe un polynôme P 1 tel que
|h(x) − P 1 (x)| <
ε
2
pour x ∈ [0 , 1].
De plus, on a
1
0
(g(x) − ϕ(x)) dx =
]c−δ,c[
(g(x) − ϕ(x)) dx.
Si on pose
A = {x ∈ ]c − δ, c[ : g(x) = l(x)} et B = ]c − δ, c[ \ A,
on obtient alors
]c−δ,c[
(g(x) − ϕ(x)) dx =
A
(g(x) − ϕ(x)) dx
]c−δ,c[
|l(x) − ϕ(x)| dx
]c−δ,c[
(|ϕ(x) − ϕ(c − δ)| + |ϕ(c − δ) − l(x)|) dx
<
ε
4
+ M
δ
2
<
ε
2
.
Il s’ensuit que
1
0
(P 2 (x) − ϕ(x)) dx =
1
0
(P 2 (x) − g(x)) dx +
1
0
(g(x) − ϕ(x)) dx < ε.
On montre de la même manière que
1
0
(ϕ(x) − P 1 (x)) dx < ε.
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