Chapitre III. Suites et séries de fonctions
On peut montrer de la même façon que
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=0
a n x
n ϕ (x
n )
1
0
ϕ(t) dt
et (1) est donc prouvée. D’où,
1 = lim
N →+∞
1 − e
−1/N
+∞
n=0
a n e
−n/N ϕ
e
−n/N
= lim
N →+∞
1 − e
−1/N
N
n=0
a n .
Puisque lim
N →+∞
1 − e −1/N
N = 1, on a
lim
N →+∞
N
n=0
a n
N
= 1.
III.3.26. Si |na n | C, on a alors, pour x ∈ ]0 , 1[,
f
(x)
+∞
n=2
n(n − 1) |a n | x
n−2
C
+∞
n=2
(n − 1)x
n−2 = C
1
(1 − x)
2 .
D’après II.3.33, on a
lim
x→1 −
(1 − x)f
(x) = 0 = lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=1
na n x
n−1 .
Maintenant, puisque
F (x) =
+∞
n=1
1 −
na n
C
x
n−1 =
1
1 − x
−
f (x)
C
,
on obtient lim
x→1 −
(1 − x)F (x) = 1, ce qui, combiné au théorème de Hardy et
Littlewood énoncé au problème précédent, donne
lim
n→+∞
n
k=1
1 −
ka k
C
n
= 1.
Donc,
lim
n→+∞
n
k=1
ka k
n
= 0.
Pour conclure, il suffit d’appliquer le résultat donné en III.3.19.
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