Solutions
D’après l’inégalité de Cauchy (voir, par exemple, I.2.12 (vol. I)), on a
n
k=1
ka k
2
n
n
k=1
k
2 a
2
k
.
Donc,
lim
n→+∞
⎛
⎜
⎜
⎝
n
k=1
ka k
n
⎞
⎟
⎟
⎠
2
lim
n→+∞
n
k=1
k 2 a 2
k
n
= 0.
Le résultat cherché se déduit alors du problème précédent.
III.3.21. Soit ε > 0. Par hypothèse, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que
|a n − Ab n | < εb n si n > n 0 .
On a donc, pour x ∈ ]0 , 1[,
|f (x) − Ag(x)| =
+∞
n=0
(a n − Ab n )x
n
n 0
n=0
(a n − Ab n )x
n
+
+∞
n=n 0 +1
(a n − Ab n )x
n
n 0
n=0
|a n − Ab n | + ε
+∞
n=n 0 +1
b n x
n
n 0
n=0
|a n − Ab n | + εg(x).
Puisque lim
x→1 −
g(x) = +∞, on obtient
n 0
n=0
|a n − Ab n | < εg(x)
pour x suffisamment proche de 1 et |f (x) − Ag(x)| < 2εg(x) pour x suffisamment proche de 1.
III.3.22. On note que, d’après le théorème de Mertens (voir, par
exemple, III.6.1 (vol. I)), on a
f (x) = (1 − x)
+∞
n=0
S n x
n et g(x) = (1 − x)
+∞
n=0
T n x
n
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