Chapitre III. Suites et séries de fonctions
pour |x| < 1. Le résultat énoncé au problème précédent donne donc
lim
x→1 −
f (x)
g(x)
= lim
x→1 −
f (x)
1−x
g(x)
1−x
= A.
III.3.23. On considère
f (x) =
1
(1 + x)
2 (1 − x)
= (1 − x)
+∞
n=0
(n + 1)x
2n
=
+∞
n=0
(n + 1)
x
2n
− x
2n+1
et
g(x) =
1
1 − x
=
+∞
n=0
x
n .
On a lim
x→1 −
f (x)
g(x) =
1
4 . D’autre part, puisque S 2n+1 = 0, S 2n = n + 1 et T n = n,
la limite lim
n→+∞
Sn
Tn n’existe pas.
III.3.24. Pour x ∈ ]0 , 1[, on a
f (x)
n
k=0
a k x
k
x
n S n
(1)
car tous les coefficients a n sont positifs. En prenant x = e
−
1
n , on obtient
e
−1 S n f
e
−
1
n
.
Par hypothèse, étant donné ε > 0, il existe donc n 0 tel que
e
−1 S n
A + ε
1 − e
−
1
n
< 2(A + ε)n
si n n 0 . La dernière inégalité se déduit du fait que
lim
n→+∞
ln
1 −
1
2n
n
= −
1
2
> −1.
On a donc
S n A 2 n pour un certain A 2 2(A + ε)e.
(2)
344
pour |x| < 1. Le résultat énoncé au problème précédent donne donc
lim
x→1 −
f (x)
g(x)
= lim
x→1 −
f (x)
1−x
g(x)
1−x
= A.
III.3.23. On considère
f (x) =
1
(1 + x)
2 (1 − x)
= (1 − x)
+∞
n=0
(n + 1)x
2n
=
+∞
n=0
(n + 1)
x
2n
− x
2n+1
et
g(x) =
1
1 − x
=
+∞
n=0
x
n .
On a lim
x→1 −
f (x)
g(x) =
1
4 . D’autre part, puisque S 2n+1 = 0, S 2n = n + 1 et T n = n,
la limite lim
n→+∞
Sn
Tn n’existe pas.
III.3.24. Pour x ∈ ]0 , 1[, on a
f (x)
n
k=0
a k x
k
x
n S n
(1)
car tous les coefficients a n sont positifs. En prenant x = e
−
1
n , on obtient
e
−1 S n f
e
−
1
n
.
Par hypothèse, étant donné ε > 0, il existe donc n 0 tel que
e
−1 S n
A + ε
1 − e
−
1
n
< 2(A + ε)n
si n n 0 . La dernière inégalité se déduit du fait que
lim
n→+∞
ln
1 −
1
2n
n
= −
1
2
> −1.
On a donc
S n A 2 n pour un certain A 2 2(A + ε)e.
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