Chapitre III. Suites et séries de fonctions
On a alors
f (x) = a 0 +
+∞
n=1
b n − b n−1
n
x
n
= a 0 +
+∞
n=1
b n
x n
n
−
x n+1
n + 1
= a 0 +
+∞
n=1
b n
x n − x n+1
n + 1
+
x n
n(n + 1)
= a 0 + (1 − x)
+∞
n=1
b n
n + 1
x
n +
+∞
n=1
b n
n(n + 1)
x
n .
Puisque lim
n→+∞
bn
n+1 = 0, on peut montrer que
lim
x→1 −
(1 − x)
+∞
n=1
b n
n + 1
x
n = 0.
En appliquant alors le théorème de Tauber, on obtient
+∞
n=1
b n
n(n + 1)
= L − a 0 .
De plus,
lim
N →+∞
N
n=1
b n
n(n + 1)
= lim
N →+∞
N
n=1
b n
1
n
−
1
n + 1
= lim
N →+∞
N
n=1
b n − b n−1
n
−
b N
N + 1
= lim
N →+∞
N
n=1
a n ,
d’où
+∞
n=0
a n = L.
III.3.20. La convergence de la série
+∞
n=0
na 2
n et le résultat de III.5.9(b)
(vol. I) impliquent
lim
n→+∞
a 2
1 + 2 2 a 2
2 + · · · + n 2 a 2
n
n
= 0.
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