Solutions
si n n 0 . En posant S n =
n
k=0
a k , on obtient
S n − L = f (x) − L +
n
k=0
a k
1 − x
k
−
+∞
k=n+1
a k x
k , |x| < 1.
On remarque alors que
1 − x
k = (1 − x)
1 + 1 + · · · + x
k−1
k(1 − x)
si x ∈ ]0 , 1[. Donc,
|S n − L| |f (x) − L| + (1 − x)
n
k=0
k |a k | +
ε
3n(1 − x)
.
Finalement, en prenant x = x n , on a
|S n − L|
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
III.3.17. Considérez, par exemple, la série
+∞
n=0
(−1)
n x n .
III.3.18. Le théorème d’Abel (voir III.3.14) implique que si la série
+∞
n=0
a n
converge, alors la limite lim
x→1 −
f (x) existe. Pour montrer que l’implication réciproque est correcte, on suppose que lim
x→1 −
f (x) = g ∈ R. Par hypothèse, pour
0 < x < 1, on a
k
n=1
a n x
n
f (x) g, k ∈ N
∗ .
Donc,
k
n=1
a n = lim
x→1 −
k
n=1
a n x n g, ce qui implique la convergence de
+∞
n=0
a n .
III.3.19. On définit
b 0 = 0, b n = a 1 + 2a 2 + · · · + na n , n ∈ N
∗ .
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