Chapitre III. Suites et séries de fonctions
si x ∈ ]1 − δ , 1[, on voit que f (x) S + 2ε et (1) est prouvée dans le
cas où lim
n→+∞
S n est finie. Si maintenant lim
n→+∞
S n = −∞, alors clairement
lim
n→+∞
S n = −∞. Pour M ∈ R, on peut choisir n 1 tel que S n < M si n > n 1 .
On a donc, pour x ∈ ]0 , 1[,
M − f (x) = (1 − x)
n 1
n=0
(M − S n )x
n + (1 − x)
+∞
n=n 1 +1
(M − S n )x
n
(1 − x)
n 1
n=0
(M − S n )x
n
et f (x) M − (1 − x)
n 1
n=0
(M − S n )x n . Puisqu’il existe δ > 0 tel que
(1 − x)
n 1
n=0
(M − S n )x
n
< ε
si x ∈ ]1 − δ , 1[, on voit que f (x) M + ε et
lim
x→1 −
f (x) lim
x→1 −
f (x) M.
M pouvant être choisi arbitrairement, ceci montre que lim
x→1 −
f (x) = −∞ et
prouve donc (1) dans ce cas. L’inégalité
lim
n→+∞
S n lim
x→1 −
f (x)
se prouve de la même façon.
III.3.16. On pose
A n =
n
k=0
k |a k |
n
.
On a lim
n→+∞
A n = 0 (voir, par exemple, II.3.2 (vol. I)). Par hypothèse, si
x n = 1 −
1
n , alors lim
n→+∞
f (x n ) = L. Donc, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel
que
|f (x n ) − L| <
ε
3
, A n <
ε
3
et n |a n | <
ε
3
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