Solutions
III.3.15. On montre d’abord que
lim
x→1 −
f (x) lim
n→+∞
S n .
(1)
On a (voir III.3.12)
f (x) = (1 − x)
+∞
n=0
S n (x)x
n pour |x| < 1.
(2)
Si lim
n→+∞
S n = +∞, (1) est alors évidente. Si lim
n→+∞
S n = S ∈ R, (2) donne
alors
S − f (x) = (1 − x)
+∞
n=0
(S − S n )x
n .
(3)
Soit ε > 0. Il existe n 0 tel que S n < S + ε pour n > n 0 . Donc, d’après (3),
pour x ∈ ]0 , 1[,
S − f (x) (1 − x)
n 0
n=0
(S − S n )x
n
− ε(1 − x)
+∞
n=n 0 +1
x
n
= (1 − x)
n 0
n=0
(S − S n )x
n
− εx
n 0 +1
(1 − x)
n 0
n=0
(S − S n )x
n
− ε
et
f (x) S + ε − (1 − x)
n 0
n=0
(S − S n )x
n .
Puisqu’il existe δ > 0 tel que
(1 − x)
n 0
n=0
(S − S n )x
n
< ε
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