Chapitre III. Suites et séries de fonctions
III.3.12. On montre d’abord que
+∞
n=0
a n x n ,
+∞
n=0
S n x n et
+∞
n=0
(n + 1)T n x n
convergent pour |x| < 1. Puisque {T n } est bornée, il existe C > 0 tel que
|T n | C pour tout n. On a alors, pour |x| < 1,
+∞
n=0
(n + 1) |T n x
n
|
+∞
n=0
(n + 1)C |x
n
| =
C
(1 − |x|)
2 .
La convergence de
+∞
n=0
S n x n pour |x| < 1 se déduit de l’égalité
N
n=0
S n x
n = S 0 +
N
n=1
((n + 1)T n − nT n−1 )x
n .
De même, puisque
N
n=0
a n x n = a 0 +
N
n=1
(S n − S n−1 )x n , la convergence de
+∞
n=0
S n x n implique celle de
+∞
n=0
a n x n pour |x| < 1.
L’égalité énoncée dans l’énoncé se déduit du théorème de Mertens (voir,
par exemple, III.6.1 (vol. I)).
III.3.13. On a
|x|
1 − |x|
f
(x)
+∞
n=0
|x|
n
+∞
k=0
2
k x
2 k
=
+∞
n=1
⎛
⎝
2 k n
2
k
⎞
⎠ |x|
n
=
+∞
n=1
⎛
⎝
[log 2 n]
k=0
2
k
⎞
⎠ |x|
n
2
+∞
n=1
n |x|
n = 2
|x|
(1 − |x|)
2 .
L’inégalité cherchée est donc vérifiée pour M = 2.
III.3.14. La convergence uniforme de
+∞
n=0
a n x n sur [0 , 1] se déduit du test
de convergence uniforme d’Abel (voir la solution de III.2.19). Pour prouver
(b), il suffit d’appliquer III.1.30 (voir aussi la solution de III.2.19).
338