Solutions
(c) Puisque lim
n→+∞
n
n
√
n!
= e, on voit que le rayon de convergence est égal
à R/e (voir, par exemple, II.4.20 (vol. I)).
(d) Puisqu’il existe une suite d’entiers strictement positifs {n k } telle que
1
R
= lim
k→+∞
n k
|a n k |,
on conclut que le rayon de convergence est égal à R 2 .
III.3.8. Le résultat de III.1.25 implique immédiatement que les seules séries
entières répondant au problème sont les polynômes.
III.3.9. Le rayon de convergence de la série est égal à +∞. Une dérivation
terme à terme donne
f
(x) =
+∞
n=0
x 2n+1
(2n + 1)!!
= 1 +
+∞
n=1
x 2n
(2n − 1)!!
= 1 + xf (x).
III.3.10. Comme dans la solution du problème précédent, on obtient, pour
x ∈ R,
f
(x) + f
(x) + f (x) =
+∞
n=0
x n
n!
= e
x .
III.3.11. Pour x ∈ ]−1 , 1[, on pose
g(x) =
f (xx 0 ) − f (x 0 )
x − 1
.
On a alors lim
x→1 −
g(x) = x 0 f (x 0 ). De plus (voir, par exemple, III.6.4 (vol. I)),
g(x) =
1
1 − x
f (x 0 ) −
1
1 − x
f (x 0 x) =
+∞
n=0
(f (x 0 ) − S n (x 0 ))x
n .
Donc, si 0 < x < 1 et m ∈ N, on obtient
g(x) =
+∞
n=0
(f (x 0 ) − S n (x 0 ))x
n > (f (x 0 ) − S m (x 0 ))x
m .
En conséquence, x 0 f (x 0 ) = lim
x→1 −
g(x) f (x 0 ) − S m (x 0 ) > 0.
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