Chapitre III. Suites et séries de fonctions
(voir, par exemple, III.6.1 (vol. I)). L’exemple suivant montre que l’inégalité R min {R 1 , R 2 } peut être stricte. Le produit de Cauchy de
+∞
n=0
a n x n et
+∞
n=0
b n x n , où
a 0 = 1, a n = −
3
2
n
, b 0 = 1, b n =
3
2
n−1
2
n +
1
2 n+1
est
+∞
n=0
3
4
n x n (voir, par exemple, III.6.11 (vol. I)). Ici, R 1 = 2/3,
R 2 = 1/3 et R = 4/3. L’exemple suivant montre que R peut être infini
même si R 1 et R 2 sont finis. Si
a n =
2
pour n = 0,
2 n pour n ∈ N ∗
et
b n =
−1 pour n = 0,
1 pour n ∈ N ∗ ,
alors R 1 = 1/2, R 2 = 1 et R = +∞.
III.3.6. On va utiliser III.3.1(b).
(a) Pour 0 < ε < L, il existe n 0 tel que
n
L − ε
n α
n
|a n |
n
L + ε
n α
si n n 0 . Donc, lim
n→+∞
n
|a n | = 1 et R = 1.
(b) On montre comme en (a) que R = α.
(c) R = +∞.
III.3.7.
(a) Puisque lim
n→+∞
n
|2 n a n | =
2
R , le rayon de convergence est égal à
1
2 R.
(b) Si ε > 0 est suffisamment petit pour que
1
R − ε > 0, on a alors
n
n
|a n | > n
1
R
− ε
pour une infinité de valeurs de n. Donc, lim
n→+∞
n
n
|a n | = +∞ et R = 0.
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